【学 习 论 他】实数指数幂？

已注销***

25[sup]½[/sup]=?
16[sup]¾[/sup]=?
见过这种情况吗？在这里，25 的指数为 ½，16 的指数为¾，都不是常规的整数.
那么我们该如何算出结果呢？

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众所周知，幂的乘方有这么一个法则：
(a[sup]m[/sup])[sup]n[/sup]=a[sup]mn[/sup].
根据这个法则，我们把 25[sup]½[/sup] 加个平方（[sup]2[/sup]），即
(25[sup]½[/sup])[sup]2[/sup]=25[sup]½×2[/sup]=25.
我们再与这个式子联系一下：
(√25)[sup]2[/sup]=25.
由此我们可以看到，25[sup]½[/sup]=√25.

为什么 25[sup]½[/sup]≠-√25？ 你想想看，25[sup]0[/sup]<25[sup]½[/sup]<25[sup]1[/sup]，它怎么可能是负数？

请注意，25[sup]½[/sup] 中，其指数的分母与 √25 的根指数竟然是一样的，都是 2.
更多的例子表明，
a[sup]1/m[/sup]=[sup]m[/sup]√a（其中 m 是正整数）.

那么，像 16[sup]¾[/sup] 该如何计算呢？
我们把 16[sup]¾[/sup] 化成 (16[sup]¼[/sup])[sup]3[/sup].
根据上面的结论可知，其等于 ([sup]4[/sup]√16)[sup]3[/sup]=2[sup]3[/sup]=8.
那么我们又得到了一个结论：
a[sup]n/m[/sup]=([sup]m[/sup]√a)[sup]n[/sup]（其中 m, n 都是正整数）.
针对指数为有限小数和无限循环小数的幂，我们可以将指数化成分数的形式再计算.
针对指数为无限不循环小数的幂，我们可以先根据实际需要将指数化成与其近似的有限小数再计算.

问题来了：要是出现指数为负，且不是整数的幂怎么办？
还是很简单，设该幂为 a[sup]-n/m[/sup]（m, n 都是正整数），我们可以化为 (a[sup]n/m[/sup])[sup]-1[/sup]=1/([sup]m[/sup]√a)[sup]n[/sup].
因此，一般地，
a[sup]-n/m[/sup]=1/([sup]m[/sup]√a)[sup]n[/sup]（m, n 都为正整数）.

你学废了吗？

PS：以上都是本人自主推导的结果，突发奇想得到（
请各位学霸指出其中的错误，感谢！

芓又***

有点民科的感觉，但是又挑不出毛病

开心***

哈，没想到也有人推出了这个