[胡思乱想]论“排中律”的“危机”

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[胡思乱想]论“排中律”的“危机”
（注：本文旨在借用数学哲学的一些内容来说明排中律的适用性，并反驳互联网常见的所谓推翻排中律的观点）

—————排中律

排中律，公认的形式逻辑三大基本规律之一（思维的明确性要求），指在同一个思维过程中，两种思想不能同假，其中必有一真，即“要么A要么非A”。

直观来看，它说得确实非常有道理，例如我们要去投票，假设是要么投赞成票，要么不投赞成票（弃权或反对），显然，我们不能两个都不选（要不然这就没有意义了，既不赞成，也不弃权，也不反对，那要投票干什么呢），也不能两个都选（当然，这是矛盾律的要求，并不在本文详细展开）。

—————排中律的危机：数学上的直觉主义

但是在近代，有一种直觉主义学派的观点，动摇了这个自从亚里士多德定义的传统。第一次是在19世纪末20世纪初，随着集合论悖论的出现，数学基础发生动摇。

争议根源于对“无穷”的理解不同。传统经典逻辑将无穷视为“实无穷”，也就是一个完成了的、静态的实体。而直觉主义者坚持“潜无穷”，只承认无穷是一个无限生长的过程，否认其作为一个整体的完成性。布劳威尔在1908年的论文《论逻辑原理的不可靠性》中，直指排中律并非普遍法则。

他的论证极具颠覆性：排中律是从有限事物的推理中总结出来的，将其无条件推广到无穷领域是没有根据的。他以“π的小数展开中是否存在连续的9个9”为例：在有限范围内你能逐一验证，但在无限面前，你既无法穷举，也可能永远找不到答案。此时说“要么存在，要么不存在”在直觉主义看来没有任何认识论价值。

或许我们会觉得他说得也非常有道理。直觉主义的核心是“存在即被构造”，如果一个命题为真，当且仅当我们能提供一个构造性的证明。既然在无穷领域，排中律常常无法满足这一要求，它就失去了作为逻辑基础的资格。这似乎一点错也没有，但又非常反常：如果排中律真就是这么不可靠，那为什么它还能是逻辑学基本规律？

—————是危机，还是“误会”？

显然，这是把排中律放错了地方，从另一个角度想想，排中律其实没有任何问题。

或者说，对于排中律的争议，核心不在于“关系”与“非关系”的对立，而在于“可判定关系”与“不可判定关系”的问题。

显然，当我们讨论两个给定对象之间的关系，排中律是非常稳固的。在关系判断中（如“A>B”、“A与B相邻”、“A属于B”），两边对象已经给定，问题只是它们之间是否满足某种关系。这种判断通常可以通过有限步骤的比较或检验来完成。比如给定两个自然数，我们总能判定它们是否相等，要么相等，要么不相等，没有中间地带，不可能有一个既相等又不相等的关系出来。

直觉主义当然是吃这一套的：排中律在有穷集合、可构造的对象域上是有效的，因为“任何一个涉及有限事物全体的命题，总是可以通过对这些事物逐一地加以验证，来判明该命题的真伪”。

但问题恰恰就在于其要看这个关系是否可判定，例如一个关系R被称为可判定的，当且仅当对于任意对象x和y，我们总能构造性地证明"xRy"或者构造性地证明"¬(xRy)"。

可判定关系：如自然数上的相等关系、大小关系等。在直觉主义框架内，自然数等式是可判定的 ​。

不可判定关系：实数上的相等关系。在构造性数学中，"∀x∈R (x=0 ∨ x≠0)"等价于一个非构造性原则，这在直觉主义中是不被接受的。

历史上对排中律的质疑，很大程度上正是因为经典数学家将有限域中行之有效的关系判断规则，未经审查地推广到了无限域。布劳威尔指出，排中律是从有限事物中概括出来的，“若将这个规律推广到无穷就是没有根据的”，而在直觉主义看来，这就是问题所在。

例如有限关系：“5和7是否互素？”，显然是可判定的，排中律必然成立。

而在无限关系：“π的小数展开中是否存在序列0123456789？”，目前既无法构造性证明存在，也无法构造性证明不存在。对直觉主义者来说，此时断言“要么存在，要么不存在”就是一张空头支票，或者说是“没有认识论价值”。

—————这两派如何进一步思考？

对于上述那个问题，我们可以这么想：我们虽然不能证明或者证伪这个命题，但是π的小数展开中，确实是要么有这个序列，要么就没有，怎么可能会存在一个既有又没有的交叉点呢？你再怎么想也改变不了它要么有，要么就没有的客观事实。

但是这是从事物本身的状态出发，其假设了一个前提：存在一个独立于我们心智的数学实在，其中每个命题要么为真、要么为假，无论我们能否证明它。这确实是经典数学家（柏拉图主义者）的立场。其认为：对于任何数学对象，无论是数字、函数还是无限集合，它们都像天体一样存在于某个永恒的领域中，数学家的任务仅仅是去“发现”那些早已确定的事实。因此，宇宙是静态且已完成的，任何数学命题在本体论上必然是非真即假的。从这个角度看，我们说得没有问题。

当然，直觉主义者也不否定这个，但是反对将其作为预设前提，直觉主义并不是认为既存在又不存在，而是表示：如果我们无法构造性地证明它存在，也无法构造性地证明它不存在，那么谈论它“真”或“假”是空洞的，不是因为它有第三种状态，而是因为我们没有资格在没有证据的情况下断言它非真即假，那为什么能断言呢？有什么证据吗？有什么意义吗？排中律回答不了这个问题。

布劳威尔把对排中律的信念追溯到“本体论的实在论”，即对数学对象世界的存在的预设，这是一个独立于思考着的个体的世界。直觉主义者的口号是“在数学中存在即被构造”。

上述我们的立场预设了一种符合论的真理观：命题为真，当且仅当它符合客观实在。至于我们能否认识到这一点，那是另一个问题。

而直觉主义预设的是一种构造论的真理观：命题为真，当且仅当我们能构造出它的证明。如果一个陈述的意义在于它的使用条件，那么“真”的意义就必须与“可证明”绑定。

或者说可以算是某种误会，因为排中律在“关系是否成立”这个本体论问题上永远为真，争议只在于我们是否承认“无法证明其真假”的命题仍然具有确定的真值。

—————唯物论与可知论？

但是我们坚持唯物论，承认客观世界独立于人的意识而存在，那么排中律就获得了坚实的本体论根基。唯物论的基本立场是“客观事物及其规律不以人的意志为转移”。或者说唯物主义是“从感性世界、即无可争辩的客观真理出发，认为客观真理是自在世界、即离开我们而存在的世界”。

那么就可以得知：一个对象要么存在，要么不存在；一种关系要么成立，要么不成立，这不是因为人们“约定”了逻辑规则，而是因为客观实在本身就不允许“既存在又不存在”的状态。

从认识论的角度来看，“哪怕我们不能证明它，但从直观的角度来看，它要么是有，要么是没有”，这是一种可知论的立场，世界上没有不可认识的事物，只有尚未被认识的事物。这样来看，直觉主义就有点站不住脚了：

直觉主义者认为“我们无法证明，所以不能说它真或假”，这是把认识能力的当下局限错误地当成了真理本身的属性。

可知论者认为“我们暂时无法证明，但它客观上要么真要么假”，这是区分了“真理的存在”与“真理的被认识”。

值得注意的是，唯物论支持排中律，但前提是我们对"数学对象"的唯物主义理解是正确的。

马克思主义哲学对数学的理解是：数学是对客观世界数量关系和空间形式的反映（记住这句话），而不是一个独立于物质世界的“柏拉图王国”。或者说：正确思维形式和规律来源于客观事物，是客观事物本质关系在思维中的反映。

唯物辩证法认为，无限是物质世界发展的无限性在思维中的反映，而不是一个“完成了的无限整体”。从这个角度看，要讨论“π的无限小数展开中某个序列存在或不存在”，实际上是在讨论一个潜在的、生成的过程，而不是一个“已经完成的无限对象”。无限作为规律（如“每一位小数由确定性算法生成”）是客观的、已完成的；无限作为“被穷举出来的全部结果”是潜在的、未完成的。排中律适用于前者，因为规律层面的关系是必然确定的；争议主要产生于后者，也就是直接把无限当作一个“已经摆在那里的整体”来断言。

所以，唯物论支持排中律的本体论版本（事物要么存在要么不存在），但对于无限域中的命题，情况又有所不同。

那么，“背景介绍”就结束了，在接下来的论述中，我们将详细展开所谓的数学结构主义对此的一种观点。

—————如何思考这个问题：数学结构主义

我们不妨讨论一个更根本的问题：数学的一切内容到底在指代什么？

实际上，我更倾向于认为数学是一种抽象的东西，它没有所谓的实在本体， 但其确实是用于描述一种关系，例如我们能指着两个苹果说这是1+1=2吗，显然不能，因为这就是苹果，如果说苹果是1，那为什么只有这个苹果是1呢？那如果1可以指全部的“1”，那它就是在描述一种关系，但客观上来说，两个苹果相加就是构成了1+1=2的关系，这说明数字不是对象的属性，而是对象之间关系的属性。

弗雷格在《算术基础》里做过一个类似的区分：说“这堆苹果是2”是荒谬的，苹果是苹果，它怎么“是2”呢？但说“苹果的数量是2”是有意义的。本文的观点则要更进一步，或者说，认为关系本身就是数学的研究对象（数学研究的不是“对象本身是什么”，而是“对象之间如何关联”），“一”不是一个东西，而是“一个”这种关系状态，“二”不是两个东西，而是“两个一”这种关系配置。

这样来看，很多命题就有了一个新角度，例如自然数是什么不重要，重要的是它们之间的后继关系（0后面是1，1后面是2，以此类推），从这个角度看，数学确实没有“本体”，或者说是苹果那样在现实中客观存在着的实体，但数学有“结构”，而结构就是关系的网络。

那么，排中律的危机就能被化解了：排中律不是关于“东西是否存在”的定律，而是关于“关系是否成立”的定律。“A和B是否相等”，但这实际上不是在问A和B是什么，而是在问它们之间的等同关系是否成立。同理，“序列S是否出现在π中”——这不是在问π“是什么东西”，而是在问π的十进制下的小数展开与序列S之间的包含关系是否成立。

那么，拉回正轨来看，关系要么成立，要么不成立，不可能既成立又不成立。那么，排中律确实是生效的，哪怕我们难以证明这个命题，因为数学就是要研究这个关系，关系本身就是确定的。

即使我们暂时无法证明某个关系是否成立，这个关系在客观上仍然是确定的。两个苹果放在一起，即使没有人去数，“这里有两个苹果”这个数量关系仍然是客观存在的，其不依赖于是否有人去认识它，那么，上述的命题也就同理了。

马克思主义哲学对数学的理解也类似：数学不是来研究“东西”的，而是研究客观世界的数量关系和空间形式，数量关系不是实体，但是关系本身是客观存在，且不以人的意志为转移的。

两个苹果放在一起，“二”这个数量关系不是人脑凭空创造的，它是苹果之间客观配置关系的反映。人发明了“2”这个符号，用于描述这种关系，又发明了加法，用1+1=2进一步描述这种关系，但“两个一”这种关系配置是客观的。

—————“本不应存在的问题”

历史上对排中律的争议，很大程度上是因为人们在问“数学对象是否存在”，这是一个本体论问题。但如果数学没有对象本体，只有关系结构，那么这个问题本身就问错了，它问了一个“本不应存在的问题”。

从这个角度看，布劳威尔的直觉主义质疑的不是“关系是否确定”，而是“无限关系是否能在有限步骤中被我们把握”。这是一个认识论问题，不是本体论问题，那么可知论就可以回答他了：无限关系作为客观规律，其本身仍然是确定的，不以我们的意志为转移。我们暂时无法完全把握它，这是人类认识能力的局限，不是客观关系本身的问题，排中律在关系层面必然无条件成立，只是我们证明它的能力有限。

综上，我们可以得出这么一个结论：数学没有实体本体，但有客观关系（其本体就是其结构关系本身）；排中律不是关于实体的定律，而是关于关系的定律；因此排中律在数学中天然成立，争议只在于我们能否认识它，而不在于它是否成立。

那么，这场“危机”就能化解了，这个立场既避免了柏拉图主义“数学对象是神秘实体”的问题，也避免了直觉主义“数学真理依赖于心智构造”的问题，同时给排中律提供了唯物主义的关系论基础。

在现实中的构造性数学为人类发展做出了突出贡献，但是，直觉主义的在这个领域的问题主要是源自其把构造性当做了真理的唯一标准，就否定了客观关系的确定性，就可能会滑向唯心主义。

—————后言

近年来，互联网上也有各种各样所谓的“量子力学学家”，用不知道从哪拼凑来的东西就说排中律被证伪了，而薛定谔其实早就给出了个答案：

薛定谔设想：一只猫、一瓶毒药和一个放射源被放在一个密封的盒子里。如果盒子内的探测器检测到放射性（放射源中发生了单个原子衰变），那么烧瓶就会被打碎，释放出毒药杀死猫。当人们打开盒子时，看到的猫要么活着要么死亡。但根据哥本哈根解释，原子放射源中的原子处于衰变与不衰变的叠加态，猫应当处于活着与死亡的叠加态。

但现实中，从宏观的角度来讲，在测量之后，猫就是要么活要么死，排中律没有被推翻。实际上，在量子语境下讨论的是不同的逻辑系统，在那里是有不同的范畴（量子语境下的逻辑与经典逻辑有不同之处，确实构成了对排中律的挑战，但也没有真正动摇其地位），但很多人却用量子力学的结论直接否定了经典逻辑中的排中律，这显然是荒谬的（本文对此不深究）。

现今，很多互联网上所谓的“量子力学大师”，往往就是学了哥本哈根的这个解释，但却又认为这个解释是绝对正确的（他们自己都不知道哥本哈根在解释什么），并借此大搞神秘主义，否定一切，但自己却连排中律都不遵守。甚至还有的人直接违反同一律，原话题谈论的显然是这个宇宙的内容，他们却又说什么平行宇宙有某种可能，然后把讨论点拉偏，已经不能说是偷换论题了，属于是直接“明换论题”。这实际上是对量子力学的侮辱。

本文属于[胡思乱想]系列 ，旨在激发读者对相关问题的思考，并不深入地去讨论这些问题，一些论证可能会有稍微不恰之处（可能过度简化），还请谅解。

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