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本帖最后由 NetheriteX1 于 2022-1-30 09:42 编辑 从矿车到导数（入门级） 不会的也看一看吧，说不定你就会了呢？ 首先，让我们看一道题： 已知函数f(x)=x³，则其在x=2处的切线方程为？ 会做吗？可以自己试一试！ 如果不会做，让我们继续看吧。  引入这样一个简单的例子 一矿车从某位置由静止开始做匀加速直线运动，加速度为2m/s²，运动了5s。 如果要求其在5s内的位移大小，应该很简单。 我们有公式x=v0t+at²/2 代入可得位移x为25m 很简单地，有5s内的平均速度v=5m/s 要求瞬时速度，也很简单，直接由v=at可以得出 然而... 如果我们改变一些数据... 若矿车的位移大小可表示为x=t³呢？ 由于出现了三次方，加速度等一系列工具都不能使用了... 让我们作出矿车的x-t图象 
我们知道，瞬时速度就是物体在某个时刻瞬间的速度（这不是废话嘛） 初中和高一物理书上，为了方便表述都将它模糊化为“极短时间内的平均速度” 自然，这是不准确的 要求矿车的瞬时速度，我们就必须从这个“极短”入手！ 仔细观察图象，假设我们要求t=1s时的瞬时速度。 
仔细观察它，你发现了什么？ 当∆t逐渐减少时，带颜色的直线越来越接近于x-t图象！ 红色的那一条几乎与图像重合！ 既然瞬时速度是极短时间内的平均速度 我们让这个∆t取到极小，这时的平均速度不就是瞬时速度了吗？！ 根据位移大小的表示式，易知t=1s时位移大小为1m 那么，1+∆t秒时位移也可以表示！为（1+∆t）³！ 将上式拆开，得（1+∆t）³=1+3∆t+3∆t²+∆t³。 不要慌，用1+∆t时的位移大小-1s时的位移大小，得位移差∆x=3∆t+3∆t²+∆t³ 根据平均速度定义，v=∆x/∆t 有v=3+3∆t+∆t² 根据上述，当∆t取到极小时，3∆t+∆t²可看作0！ 那么，就只剩下v=3了！ 求导完毕，矿车在1s时的瞬时速度为3m/s 让我们将它推广到一般，将t=1s删去，则ts时矿车的瞬时速度也可以推出，为v=3t² 不知道怎么做的？把上面的式子中的1全部换成t再推一次就可以了！ 其实，上面这些推导就叫做对一个函数求导 而得出的函数3t²就是t³的导函数 以上求导过程用数学语言可表示为 
其中lim下的∆t→0为“∆t趋近于0” 剩下的自己理解吧，毕竟这只是一堂入门课 作者本人也是刚学导数，如有错误，欢迎指出！ ——END—— |
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