【原创】【学习论坛，实至名归】从矿车到导数（入门级）

Cin***

从矿车到导数（入门级）

不会的也看一看吧，说不定你就会了呢？

首先，让我们看一道题：

已知函数f(x)=x³，则其在x=2处的切线方程为？

会做吗？可以自己试一试！

如果不会做，让我们继续看吧。

引入这样一个简单的例子

一矿车从某位置由静止开始做匀加速直线运动，加速度为2m/s²，运动了5s。

如果要求其在5s内的位移大小，应该很简单。

我们有公式x=v0t+at²/2

代入可得位移x为25m

很简单地，有5s内的平均速度v=5m/s

要求瞬时速度，也很简单，直接由v=at可以得出

然而...

如果我们改变一些数据...

若矿车的位移大小可表示为x=t³呢？

由于出现了三次方，加速度等一系列工具都不能使用了...

让我们作出矿车的x-t图象

我们知道，瞬时速度就是物体在某个时刻瞬间的速度（这不是废话嘛）

初中和高一物理书上，为了方便表述都将它模糊化为“极短时间内的平均速度”

自然，这是不准确的

要求矿车的瞬时速度，我们就必须从这个“极短”入手！

仔细观察图象，假设我们要求t=1s时的瞬时速度。

仔细观察它，你发现了什么？

当∆t逐渐减少时，带颜色的直线越来越接近于x-t图象！

红色的那一条几乎与图像重合！

既然瞬时速度是极短时间内的平均速度

我们让这个∆t取到极小，这时的平均速度不就是瞬时速度了吗？！

根据位移大小的表示式，易知t=1s时位移大小为1m

那么，1+∆t秒时位移也可以表示！为（1+∆t）³！

将上式拆开，得（1+∆t）³=1+3∆t+3∆t²+∆t³。

不要慌，用1+∆t时的位移大小-1s时的位移大小，得位移差∆x=3∆t+3∆t²+∆t³

根据平均速度定义，v=∆x/∆t

有v=3+3∆t+∆t²

根据上述，当∆t取到极小时，3∆t+∆t²可看作0！

那么，就只剩下v=3了！

求导完毕，矿车在1s时的瞬时速度为3m/s

让我们将它推广到一般，将t=1s删去，则ts时矿车的瞬时速度也可以推出，为v=3t²

不知道怎么做的？把上面的式子中的1全部换成t再推一次就可以了！

其实，上面这些推导就叫做对一个函数求导

而得出的函数3t²就是t³的导函数

以上求导过程用数学语言可表示为

其中lim下的∆t→0为“∆t趋近于0”

剩下的自己理解吧，毕竟这只是一堂入门课

作者本人也是刚学导数，如有错误，欢迎指出！

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