【学习论他|giao 中】幂函数的相关性质

SF-S***

众所周知，幂函数指形如 f(x)=x^α（α 为常数，且α∈R）的函数.为方便探究，这里限定α 的取值范围为有理数，即 α∈Q，因此 α 可改写成 p/q 的形式（p,q 互质且p,q∈Z，q≠0），即 f(x)=x^p/q.
先说幂函数 f(x) 的通用性质：图象过点(1,1)，一定经过第一象限，一定不经过第四象限，因为∀x∈(0,+∞)，α∈R，x^α>0，1^α=1.
①当 p/q>0 时，f(x) 的图象过点(0,0)，在第一象限上单调递增.
p/q 越小，在[0,1]上的图象越往上方（但值域总为[0,1]），如在区间[0,1]上，f₁(x)=x^1/5 的图象在 f₂(x)=x^6/5 上方；在(1,+∞)上的图象越往下方（但值域总为(1,+∞)），如在区间(1,+∞)上， f₁ 的图象在 f₂ 下方.

反之，p/q 越大，在[0,1]上的图象越往下方；在(1,+∞)上的图象越往上方.
p/q>1时，函数增加得越来越快，但仍然慢于指数函数 g(x)=a^x（a>1）的增长速度，因此，总存在一个数 x₀，当 x∈(x₀,+∞)时，f(x)<g(x).
0<p/q<1时，函数增加得越来越慢，但仍然快于对数函数 h(x)=log_bx（b>1）的增长速度，因此，总存在一个数 x₀，当 x∈(x₀,+∞)时，f(x)>h(x).
②当 p/q<0 时，f(x)的图象在第一象限上无限接近 x 轴，y 轴，但不与 x 轴，y 轴相交，且在第一象限单调递减.
p/q 越小，在(0,1]上的图象越往上方（但值域总为[1,+∞)），如在区间(0,1]上，f₃(x)=x^-6/5 的图象在 f₄(x)=x^-1/5 上方；在(1,+∞)上的图象越往下方，如在区间(1,+∞)上，f₃(x) 的图象在f₄(x) 下方.

③奇偶性
一般地，当 p,q 均为奇数时，幂函数为奇函数；当 p 为偶数，q 为奇数时，幂函数为偶函数；当 p 为奇数，q 为偶数时，由于函数只在第一象限内有定义，故此时幂函数为非奇非偶函数.
④其他性质
一般地，在第一象限内，函数 f(x)=x^p/q 和 f'(x)=x^q/p 关于直线 y=x 对称.
如在第一象限内， f(x)=x^-1/3 和 f(x)=x^-3 的图象关于 y=x 对称：

天蓝***

头好痒，长脑子了
还有，哪个f(x)也就是y吗?

portedb***

死去的数学必修一又开始攻击我了

皮球是***

天蓝Furry 发表于 2023-10-21 22:41
头好痒，长脑子了
还有，哪个f(x)也就是y吗?

你已经学会了!快来复习巩固吧

克里***

做好准备，圆锥曲线和导数相当难，加油