【学习论他|giao 中】幂函数的相关性质

已注销***

众所周知，幂函数指形如 f(x)=x[sup]α[/sup]（α 为常数，且α∈R）的函数.为方便探究，这里限定α 的取值范围为有理数，即 α∈Q，因此 α 可改写成 p/q 的形式（p,q 互质且p,q∈Z，q≠0），即 f(x)=x[sup]p/q[/sup].
先说幂函数 f(x) 的通用性质：图象过点(1,1)，一定经过第一象限，一定不经过第四象限，因为∀x∈(0,+∞)，α∈R，x[sup]α[/sup]>0，1[sup]α[/sup]=1.
①当 p/q>0 时，f(x) 的图象过点(0,0)，在第一象限上单调递增.
p/q 越小，在[0,1]上的图象越往上方（但值域总为[0,1]），如在区间[0,1]上，f[sub]1[/sub](x)=x[sup]1/5[/sup] 的图象在 f[sub]2[/sub](x)=x[sup]6/5[/sup] 上方；在(1,+∞)上的图象越往下方（但值域总为(1,+∞)），如在区间(1,+∞)上， f[sub]1[/sub] 的图象在 f[sub]2[/sub] 下方.

反之，p/q 越大，在[0,1]上的图象越往下方；在(1,+∞)上的图象越往上方.
p/q>1时，函数增加得越来越快，但仍然慢于指数函数 g(x)=a[sup]x[/sup]（a>1）的增长速度，因此，总存在一个数 x[sub]0[/sub]，当 x∈(x[sub]0[/sub],+∞)时，f(x)<g(x).
0<p/q<1时，函数增加得越来越慢，但仍然快于对数函数 h(x)=log[sub]b[/sub]x（b>1）的增长速度，因此，总存在一个数 x[sub]0[/sub]，当 x∈(x[sub]0[/sub],+∞)时，f(x)>h(x).
②当 p/q<0 时，f(x)的图象在第一象限上无限接近 x 轴，y 轴，但不与 x 轴，y 轴相交，且在第一象限单调递减.
p/q 越小，在(0,1]上的图象越往上方（但值域总为[1,+∞)），如在区间(0,1]上，f[sub]3[/sub](x)=x[sup]-6/5[/sup] 的图象在 f[sub]4[/sub](x)=x[sup]-1/5[/sup] 上方；在(1,+∞)上的图象越往下方，如在区间(1,+∞)上，f[sub]3[/sub](x) 的图象在f[sub]4[/sub](x) 下方.

③奇偶性
一般地，当 p,q 均为奇数时，幂函数为奇函数；当 p 为偶数，q 为奇数时，幂函数为偶函数；当 p 为奇数，q 为偶数时，由于函数只在第一象限内有定义，故此时幂函数为非奇非偶函数.
④其他性质
一般地，在第一象限内，函数 f(x)=x[sup]p/q[/sup] 和 f'(x)=x[sup]q/p[/sup] 关于直线 y=x 对称.
如在第一象限内， f(x)=x[sup]-1/3[/sup] 和 f(x)=x[sup]-3[/sup] 的图象关于 y=x 对称：

天蓝***

头好痒，长脑子了
还有，哪个f(x)也就是y吗?

portedb***

死去的数学必修一又开始攻击我了

皮球是***

天蓝Furry 发表于 2023-10-21 22:41
头好痒，长脑子了
还有，哪个f(x)也就是y吗?

你已经学会了!快来复习巩固吧

克里***

做好准备，圆锥曲线和导数相当难，加油