【学习论他】形如 y=k/(x-a)+b 的函数的性质及平移

SF-Sculk

九下人教版数学课本提及了形如 y=k/x（k≠0）的反比例函数的相关性质.那么，形如 y=k/(x-a)+b（k≠0）的函数的相关性质呢？
与以前研究一次函数、二次函数和反比例函数一样，我们先从一个具体的函数开始，比如：y=1/(x-1)+1.

「数」由分式的意义可知 x 的取值范围为 x≠1， ∴ 1/(x-1)≠0，1/(x-1)+1≠1， ∴y 的取值范围为 y≠1.

「形」我们先作出函数 y=1/(x-1)+1 的图象. 不难看出： 图象是双曲线； 图象既是中心对称图形，也是轴对称图形，其对称点为(1,1)，对称轴为直线 y=x 和 y=-x+2，且这两条直线互相垂直于点(1,1)； 图象不与直线 x=1 和 y=1 相交； 在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小； 当 x<1 时，y<1；当 x>1时，y>1.

可以另取 a，b 和 k 的值再作同样的研究.
这里我们总结函数 y=k/(x-a)+b（k≠0）的性质：

1.图象为双曲线； 2.图象是中心对称图形，对称点为(a,b)； 3.图象是轴对称图形，对称轴为直线 y=x+b-a 和直线 y=-x+a+b，证明如下： 设图象的两条对称轴对应的函数解析式分别为 y=x+m 和 y=-x+n. 易得这两条对称轴相交于(a,b)， ∴a+m=b，-a+n=b， ∴m=b-a，n=a+b， ∴两条对称轴对应的函数解析式分别为 y=x+b-a 和y=x+a+b. 4.图象不与直线 x=a 和 y=b 相交； 5.x，y 的取值范围分别为 x≠a，y≠b. 6.当 k>0 时： 6-1.在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小； 6-2.当 x>a 时，y>b；当 x<a 时，y<b. 7.当 k<0 时： 7-1.在图象的每一支上，y 随 x 的增大而增大； 7-2.当 x>a 时，y<b；当 x<a 时，y>b.

接下来，就可以研究平移了.
还是一样，从具体的数字开始.

函数 y=1/x，y=1/x+1，y=1/x-1 的图象如下图所示. 不难看出，双曲线 y=1/x+1 的图象可以看作由双曲线 y=1/x 的图象向上平移 1 个单位长度后得到，双曲线 y=1/x-1 的图象可以看作由双曲线 y=1/x 的图象向下平移 1 个单位长度后得到.

函数 y=1/x，y=1/(x+1)，y=1/(x-1) 的图象如下图所示. 不难看出，双曲线 y=1/(x+1) 的图象可以看作由双曲线 y=1/x 的图象向左平移 1 个单位长度后得到，双曲线 y=1/(x-1) 的图象可以看作由双曲线 y=1/x 的图象向右平移 1 个单位长度后得到.

于是，我们可以得到以下规律：
设每次平移 m 个单位长度

y=k/x+m
（上↑加）
y=k/(x+m)←（左加）y=k/x（右减）→y=k/(x-m)
（下↓减）
y=k/x-m

这不跟二次函数的平移一毛一样嘛

徒花

c，梦回初三

7536

徒花 发表于 2022-12-3 20:48
c，梦回初三

梦回初…不是？！我现在就是初三啊！
T^T

SF-Sculk

徒花 发表于 2022-12-3 20:48
c，梦回初三

那就对了，本帖由某初三学渣发布

UTcProtein

回到了我那过的跟畜生一样的初三生活

我的水世界

函数平移，目前初中接触的全都一个样
可以试着将 -a增加n图像左移n 理解为 -a增加n图像右移-n ，在以前用Scratch的时候意识到的（Scratch中自定义量的变化只有“增加”和“设为”，没有“减少”）
其实后面学新函数的时候如果自己研究会了就很省精力了

6281x块Judoge

我猜所有函数图像（范围囊括小学初中高中）平移规律都一样，之前猜想并验证过，不过没涉及大学的，不知道大学会不会学一些将来当掌柜记账要用的、应当会四种方法的函数（突然发疯

小琪qaq

什么东西俺看不懂

苦力怕纸

谢谢老师，学废了